Filtres IIR et filtres FIR La réponse impulsionnelle ou la réponse en fréquence classent les filtres numériques. La réponse impulsionnelle est la réponse d'un filtre à une impulsion d'entrée: x01 et xi0 pour tout ine0. La transformation de Fourier de la réponse impulsionnelle est la réponse en fréquence du filtre qui décrit le gain du filtre pour différentes fréquences. Si la réponse impulsionnelle du filtre tombe à zéro après une période de temps finie, c'est un filtre FIR (Finite Impulse Response). Cependant, si la réponse impulsionnelle existe indéfiniment, c'est un filtre IIR (Infinite Impulse Response). La façon dont les valeurs de sortie sont calculées détermine si la réponse impulsionnelle d'un filtre numérique tombe à zéro après une période de temps finie. Pour les filtres FIR, les valeurs de sortie dépendent des valeurs d'entrée courante et précédente, alors que pour les filtres IIR, les valeurs de sortie dépendent également des valeurs de sortie précédentes. Avantages et inconvénients des filtres FIR et IIR L'avantage des filtres IIR sur les filtres FIR est que les filtres IIR nécessitent habituellement moins de coefficients pour exécuter des opérations de filtrage similaires, que les filtres IIR fonctionnent plus rapidement et nécessitent moins d'espace mémoire. L'inconvénient des filtres IIR est la réponse en phase non linéaire. Les filtres IIR sont bien adaptés aux applications qui ne nécessitent pas d'informations de phase, par exemple pour la surveillance des amplitudes du signal. Les filtres FIR sont mieux adaptés aux applications nécessitant une réponse en phase linéaire. Filtres IIR Les valeurs de sortie des filtres IIR sont calculées en ajoutant la somme pondérée des valeurs d'entrée précédente et actuelle à la somme pondérée des valeurs de sortie précédentes. Si les valeurs d'entrée sont x i et les valeurs de sortie y i. L'équation de différence définit le filtre IIR: Le nombre de coefficients d'avance N x et le nombre de coefficients inverse N y est généralement égal et est l'ordre du filtre. Plus l'ordre du filtre est élevé, plus le filtre ressemble à un filtre idéal. Ceci est illustré dans la figure suivante d'une réponse en fréquence de filtres Butterworth passe-bas avec des ordres différents. Plus le gain du filtre diminue, plus l'ordre du filtre est élevé. Butterworth Filters La réponse en fréquence du filtre Butterworth n'a pas d'ondulations dans la bande passante et la bande d'arrêt. Par conséquent, il est appelé un filtre au maximum plat. L'avantage des filtres de Butterworth est la réponse en fréquence lisse, monotoniquement décroissante dans la région de transition. Chebyshev Filtres Si le filtre est le même, la réponse en fréquence du filtre Chebyshev a une gamme de transition norrower que la réponse en fréquence du filtre Butterworth qui se traduit par une bande passante avec plus d'ondulations. Les caractéristiques de réponse en fréquence des filtres de Chebyshev ont une réponse d'amplitude équivalente dans la bande passante, une réponse de magnitude décroissante de manière monotone dans la bande de séparation et un roulage plus net dans la région de transition par rapport aux filtres de Butterworth du même ordre. Filtres de Bessel La réponse en fréquence des filtres de Bessel est semblable au filtre de Butterworth lisse dans la bande passante et dans la bande de stopband. Si l'ordre de filtrage est le même, l'atténuation de bande d'arrêt du filtre Bessel est beaucoup plus faible que celle du filtre Butterworth. De tous les types de filtres, le filtre Bessel a la plage de transition la plus large si l'ordre du filtre est fixe. La figure suivante compare la réponse en fréquence avec un ordre de filtre fixe des types de filtre IIR Butterworth, Chebyshev et Bessel supportés par DIAdem. Filtre FIR Les filtres FIR sont également appelés filtres non récursifs, filtres de convolution ou filtres de moyenne mobile car les valeurs de sortie d'un filtre FIR sont décrites comme une convolution finie: Les valeurs de sortie d'un filtre FIR dépendent uniquement du courant et du passé Valeurs d'entrée. Comme les valeurs de sortie ne dépendent pas des valeurs de sortie passées, la réponse impulsionnelle décroît à zéro dans une période de temps finie. Les filtres FIR ont les propriétés suivantes: Les filtres FIR peuvent obtenir une réponse en phase linéaire et transmettre un signal sans distorsion de phase. Ils sont plus faciles à mettre en œuvre que les filtres IIR. La sélection de la fonction de fenêtre pour un filtre FIR est similaire au choix entre Chebyshev et Butterworth IIR filtres où vous devez choisir entre les lobes latéraux près des fréquences de coupure et la largeur de la région de transition. Analyse du signal Fonctions mathématiques Traitement des signaux Filtres numériques Les filtres numériques sont par essence des systèmes échantillonnés. Les signaux d'entrée et de sortie sont représentés par des échantillons avec une distance de temps égale. Les filtres de réponse à implants finis (FIR) sont caractérisés par une réponse temporelle dépendant uniquement d'un nombre donné des derniers échantillons du signal d'entrée. En d'autres termes: une fois que le signal d'entrée est tombé à zéro, la sortie du filtre fera de même après un nombre donné de périodes d'échantillonnage. La sortie y (k) est donnée par une combinaison linéaire des derniers échantillons d'entrée x (k i). Les coefficients b (i) donnent le poids pour la combinaison. Ils correspondent également aux coefficients du numérateur de la fonction de transfert de filtres du z-domaine. La figure suivante montre un filtre FIR d'ordre N 1: Pour les filtres linéaires de phase, les valeurs des coefficients sont symétriques autour du milieu et la ligne à retard peut être repliée autour de ce point central afin de réduire le nombre de multiplications. La fonction de transfert des filtres FIR n'effectue que le numérateur. Cela correspond à un filtre à zéro. Les filtres FIR nécessitent habituellement des commandes élevées, d'une amplitude de plusieurs centaines. Ainsi, le choix de ce type de filtres aura besoin d'une grande quantité de matériel ou de processeur. Malgré cela, une raison de choisir une implémentation de filtre FIR est la capacité à obtenir une réponse en phase linéaire, ce qui peut être une exigence dans certains cas. Néanmoins, le concepteur principal a la possibilité de choisir des filtres IIR avec une bonne linéarité de phase dans la bande passante, comme les filtres Bessel. Ou pour concevoir un filtre passe-haut pour corriger la réponse en phase d'un filtre IIR standard. Les modèles de moyenne mobile (MA) Les modèles de moyenne mobile (MA) sont des modèles de processus sous la forme: MA processus est une représentation alternative des filtres FIR. Filtre moyen Modifier Un filtre calculant la moyenne des N derniers échantillons d'un signal C'est la forme la plus simple d'un filtre FIR, tous les coefficients étant égaux. La fonction de transfert d'un filtre moyen est donnée par: La fonction de transfert d'un filtre moyen a N zéros également espacés le long de l'axe de fréquence. Cependant, le zéro en DC est masqué par le pôle du filtre. Par conséquent, il existe un lobe plus grand un DC qui tient compte de la bande passante du filtre. Filtre intégrateur-peigne en cascade (CIC) Modifier Un filtre intégrateur-peigne en cascade (CIC) est une technique spéciale pour la mise en œuvre de filtres moyens placés en série. Le placement en série des filtres moyens améliore le premier lobe à DC par rapport à tous les autres lobes. Un filtre CIC implémente la fonction de transfert de N filtres moyens, chacun calculant la moyenne des échantillons R M. Sa fonction de transfert est ainsi donnée par: Les filtres CIC sont utilisés pour décimer le nombre d'échantillons d'un signal par un facteur de R ou, en d'autres termes, pour ré-échantillonner un signal à une fréquence inférieure, rejetant des échantillons R 1 sur R. Le facteur M indique la quantité du premier lobe utilisé par le signal. Le nombre d'étages moyens de filtrage, N. Indique à quel point d'autres bandes de fréquence sont amorties, au détriment d'une fonction de transfert moins plate autour de DC. La structure de CIC permet d'implémenter l'ensemble du système avec seulement des additionneurs et des registres, sans utiliser de multiplicateurs qui sont gourmands en termes de matériel. Le rééchantillonnage par un facteur R permet d'augmenter la résolution du signal par des bits log 2 (R) (R). Filtres canoniques Modifier Les filtres canoniques implémentent une fonction de transfert de filtre avec un nombre d'éléments de retard égal à l'ordre du filtre, un multiplicateur par coefficient de numérateur, un coefficient multiplicateur par dénominateur et une série d'additionneurs. De même que pour les filtres actifs, les structures canoniques ont montré que ces types de circuits étaient très sensibles aux valeurs des éléments: une petite variation des coefficients avait un effet important sur la fonction de transfert. Ici aussi, la conception des filtres actifs est passée des filtres canoniques à d'autres structures telles que des chaînes de sections de second ordre ou des filtres de sauts. Chaîne de Sections de Deuxième Ordre Modifier Une section de deuxième ordre. Souvent appelé biquad. Implémente une fonction de transfert de second ordre. La fonction de transfert d'un filtre peut être divisée en un produit de fonctions de transfert associées chacune à une paire de pôles et éventuellement une paire de zéros. Si l'ordre des fonctions de transfert est impair, une section de premier ordre doit être ajoutée à la chaîne. Cette section est associée au pôle réel et au zéro réel s'il en existe un. Direct-form 1 direct-form 2 direct-form 1 transposé direct-form 2 transposé La forme directe 2 transposée de la figure suivante est particulièrement intéressante en termes de matériel requis ainsi que le signal et le coefficient de quantification. Digital Leapfrog Filters Modifier la structure du filtre Modifier Leapfrog numérique base de filtres sur la simulation des filtres analogiques actifs leapfrog. L'incitation à ce choix est d'hériter des excellentes propriétés de sensibilité à la bande passante du circuit d'échelle d'origine. Le filtre passe-bas passe-tout bipolaire 4ème ordre suivant peut être implémenté en tant que circuit numérique en remplaçant les intégrateurs analogiques par des accumulateurs. Remplacer les intégrateurs analogiques par des accumulateurs correspond à simplifier la transformation Z en z 1 s T. Qui sont les deux premiers termes de la série de Taylor de z e x p (s T). Cette approximation est assez bonne pour les filtres dont la fréquence d'échantillonnage est beaucoup plus élevée que la bande passante du signal. Transformation de la fonction de transfert La représentation de l'espace d'état du filtre précédent peut être écrite comme: A partir de ce jeu d'équations, on peut écrire les matrices A, B, C, D comme: A partir de cette représentation, des outils de traitement de signal comme Octave ou Matlab permettent de tracer La réponse en fréquence des filtres ou pour examiner ses zéros et ses pôles. Dans le filtre numérique «leapfrog», les valeurs relatives des coefficients définissent la forme de la fonction de transfert (Butterworth, Chebyshev.), Alors que leurs amplitudes fixent la fréquence de coupure. En divisant tous les coefficients par un facteur de deux, la fréquence de coupure diminue d'une octave (également un facteur de deux). Un cas particulier est le filtre de Buterworth 3 ème ordre qui a des constantes de temps avec des valeurs relatives de 1, 12 et 1. En conséquence, ce filtre peut être implémenté en matériel sans multiplicateur, mais en utilisant des changements à la place. Les modèles autorégressifs (AR) sont des modèles de processus sous la forme: où u (n) est la sortie du modèle, x (n) est l'entrée du modèle et u (n - m) sont les précédents Échantillons de la valeur de sortie du modèle. Ces filtres sont appelés autorégressifs car les valeurs de sortie sont calculées sur la base de régressions des valeurs de sortie précédentes. Les processus AR peuvent être représentés par un filtre multipolaire. Filtres ARMA Modifier Les filtres ARMA (Autonomie moyenne mobile) sont des combinaisons de filtres AR et MA. La sortie du filtre est donnée comme une combinaison linéaire à la fois de l'entrée pondérée et des échantillons de sortie pondérés: les processus ARMA peuvent être considérés comme un filtre IIR numérique, avec les deux pôles et les zéros. Les filtres AR sont préférés dans de nombreux cas parce qu'ils peuvent être analysés en utilisant les équations de Yule-Walker. Les processus MA et ARMA, d'autre part, peuvent être analysés par des équations non linéaires compliquées, difficiles à étudier et à modéliser. Si nous avons un processus AR avec des coefficients de pondération a (a vecteur de a (n), a (n - 1).) Une entrée de x (n). Et une sortie de y (n). Nous pouvons utiliser les équations yule-walker. On dit que x 2 est la variance du signal d'entrée. Nous traitons le signal de données d'entrée comme un signal aléatoire, même si c'est un signal déterministe, parce que nous ne savons pas ce que la valeur sera jusqu'à ce que nous le recevons. Nous pouvons exprimer les équations de Yule-Walker comme: Où R est la matrice de corrélation croisée de la sortie du processus Et r est la matrice d'autocorrélation de la sortie du processus: Variance Edit On peut montrer que: On peut exprimer la variance du signal d'entrée comme: , En élargissant et en remplaçant par r (0). Nous pouvons relier la variance de sortie du processus à la variance d'entrée: Supposons que le premier ordre IIR Filtre: yn alpha xn (1 - alpha) yn - 1 Comment puis-je choisir le paramètre alpha s. t. L'IIR se rapproche aussi bien que possible du FIR qui est la moyenne arithmétique des derniers k échantillons: Où n dans k, infty), ce qui signifie que l'entrée pour l'IIR pourrait être plus longue que k et pourtant Id aimerait avoir la meilleure approximation de la Moyenne des dernières k entrées. Je sais que l'IIR a une réponse impulsionnelle infinie, donc je cherche la meilleure approximation. Id être heureux pour la solution analytique si elle est pour ou. Comment résoudre ces problèmes d'optimisation étant donné que le premier ordre IIR. A demandé Oct 6 11 at 13:15 Doit-il suivre yn alpha xn (1 - alpha) yn - 1 précisément ndash Phonon Oct 6 11 at 13:32 Ceci est lié à devenir une très mauvaise approximation. Peut-être pouvez-vous vous permettre quelque chose de plus qu'un ndash d'IIR de premier ordre à gauche vers le 6 octobre à 13h42 Vous voudrez peut-être modifier votre question pour ne pas utiliser yn pour signifier deux choses différentes, p. La deuxième équation affichée pourrait lire zn frac xn cdots frac xn-k1, et vous voudrez peut-être dire quel est exactement votre critère de quotas aussi bon que possible par exemple. Voulez - vous que vert yn - znvert soit aussi petit que possible pour tout n, ou que vert yn - znvert2 soit aussi petit que possible pour tout n. Ndash Dilip Sarwate Oct 6 11 at 13:45 niaren Je sais que c'est un ancien post si vous vous souvenez: comment est votre fonction 39f39 dérivé I39ve codé une chose similaire, mais en utilisant les fonctions de transfert complexes pour FIR (H1) et IIR (H2 ) Et en faisant la somme (abs (H1 - H2) 2). Je l'ai comparé à votre somme (fj), mais obtenez des résultats différents. Je pensais que je demanderais avant de labourer les maths. Ndash Dom Jun 7 13 at 13:47 OK, essayons de tirer le meilleur: begin yn ampamp alpha xn (1 - alpha) yn - 1 ampoule alpha xn (1 - alpha) alpha xn - 1 (1 - alpha) 2 yn - 2 alpha - xn (1 - alpha) alpha - xn - 1 (1 - alpha) 2 alpha - xn - 2 (1 - alpha) 3 - 3 - fini de sorte que le coefficient de xn - m soit alpha (1 - alpha) m . L'étape suivante consiste à prendre des dérivés et à égaler à zéro. En regardant un tracé du J dérivé pour K 1000 et l'alpha de 0 à 1, il semble que le problème (comme je l'ai mis en place) est mal posé, parce que la meilleure réponse est alpha 0. Je pense qu'il ya une erreur ici. La façon dont il devrait être selon mes calculs est: L'utilisation du code suivant sur MATLAB donne quelque chose d'équivalent, mais différent: Quoi qu'il en soit, ces fonctions ont un minimum. Supposons donc que nous nous soucions vraiment de l'approximation sur le support (longueur) du filtre FIR. Dans ce cas, le problème d'optimisation est juste: J2 (alpha) somme (alpha (1-alpha) m - frac) 2 Tracer J2 (alpha) pour diverses valeurs de K par rapport à alpha donne la date dans les parcelles et le tableau ci-dessous. Pour K 8. alpha 0.1533333 Pour K 16. alpha 0.08 Pour K 24. alpha 0.0533333 Pour K 32. alpha 0.04 Pour K 40. alpha 0.0333333 Pour K 48. alpha 0.0266667 Pour K 56. alpha 0.0233333 Pour K 64. alpha 0.02 Pour K 72. alpha 0.0166667 Les lignes en tirets rouges sont 1K et les lignes vertes sont alpha, la valeur de alpha qui minimise J2 (alpha) (choisie parmi tt alpha 0: .01: 13). Theres une discussion agréable de ce problème dans Embedded Signal Processing avec le Micro Signal Architecture. Approximativement entre les pages 63 et 69. A la page 63, elle comprend une dérivation du filtre de la moyenne mobile récursive exacte (que niaren a donné dans sa réponse). Pour des raisons de commodité en ce qui concerne la discussion suivante, elle correspond à l'équation de différence suivante: Qui met le filtre dans la forme que vous avez spécifié suppose que x approximativement y, parce que (et je cite de la page 68) y est la moyenne des xn échantillons. Cette approximation nous permet de simplifier l'équation de différence précédente comme suit: Réglage alpha, nous arrivons à votre forme originale, y alpha xn (1-alpha) y, ce qui montre que le coefficient que vous voulez (par rapport à cette approximation) est exactement 1over (Où N représente le nombre d'échantillons). Est-ce approximation le meilleur à un certain point son certainement élégant. Voici comment la réponse de magnitude se compare à 44.1kHz pour N 3 et comme N augmente à 10 (approximation en bleu): Comme la réponse de Peters suggère, l'approximation d'un filtre FIR avec un filtre récursif peut être problématique sous une norme de moindres carrés. Une discussion approfondie sur la façon de résoudre ce problème en général peut être trouvée dans la thèse JOS, Techniques pour la conception de filtre numérique et l'identification du système avec application au violon. Il préconise l'utilisation de la norme de Hankel, mais dans les cas où la réponse de phase ne compte pas, il couvre également la méthode de Kopecs, qui pourrait fonctionner bien dans ce cas (et utilise une norme L2). Un aperçu général des techniques de la thèse peut être trouvé ici. Ils peuvent donner d'autres approximations intéressantes.
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